Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun tersi, o fonksiyonun yaptığı işlemi "geri alan" bir fonksiyondur. Başka bir deyişle, bir fonksiyon bir girdiyi bir çıktıya dönüştürüyorsa, ters fonksiyonu o çıktıyı orijinal girdiye geri dönüştürür.

Tanım

Eğer f, A kümesinden B kümesine bir fonksiyon ise, f fonksiyonunun tersi, f⁻¹, B kümesinden A kümesine bir fonksiyon olur. Bu fonksiyon şu özelliği sağlar:

• Eğer f(x) = y ise, o zaman f⁻¹(y) = x olur.

Varlık Koşulu

Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.

• Birebir (Enjektif): Her farklı girdi farklı bir çıktıya karşılık gelmelidir. Yani, x₁ ≠ x₂ ise, f(x₁) ≠ f(x₂) olmalıdır. (Birebir Fonksiyon)
• Örten (Sürjektif): Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olmalıdır. Yani, değer kümesinde "boşta" eleman kalmamalıdır. (Örten Fonksiyon)

Eğer bir fonksiyon hem birebir hem de örten ise, bijektif olarak adlandırılır ve tersi kesinlikle vardır.

Ters Fonksiyon Nasıl Bulunur?

1. Fonksiyonu y = f(x) şeklinde yazın.
2. x ve y'nin yerlerini değiştirin: x = f(y).
3. y'yi yalnız bırakmak için denklemi çözün. Bulduğunuz y, f fonksiyonunun tersidir, yani f⁻¹(x)'tir.

Örnek

f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun tersini bulalım:

1. y = 2x + 3
2. x = 2y + 3
3. x - 3 = 2y
4. y = (x - 3) / 2

Dolayısıyla, f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 olur.

Grafiksel Yorum

Bir fonksiyonun grafiği ile ters fonksiyonunun grafiği, y = x doğrusuna göre simetriktir.

Not

Her fonksiyonun tersi olmayabilir. Yalnızca birebir ve örten fonksiyonların tersi vardır.